Dasar aljabar linier (Operasional Research)

BAB II

Dasar Aljabar Linier

1.        Pengantar

Dalam Bab ini kita mempelajari dasar aljabar linier yang banyak dipakai  dalam pelajaran OR untuk menyelesaikan persamaan linier .

2.       Tujuan Instruksional Umum     ( T I U )

Bab II ini membahas ruang lingkup Matriks yang diterapkan untuk menyelesaikan masalah Aljabar Linier secara matematis yang akan digunakan dalam penyelesaian program linier dalam OR

3.        Tujuan Instruksional Khusus   ( T I K )

Setelah membaca Bab II ini siswa diharapkan mampu atau mengerti tentang matriks dan penggunaannya dalam program linier

4.         Uraian Materi pokok

4.1     Matriks

Matriks : Merupakan himpunan bilangan atau  fungsi yang tersusun dalam baris dan kolom diapit oleh dua kurung siku.

Bilangan atau fungsi tersebut dinamakan entri atau elemen dari matriks

                                                         

m X n              m X n       vektor kolom     vektor baris

m   :   baris  dan n  =   kolom

Suatu matrik mempunyai baris m dan kolom n maka dikatakan matriks A adalah matriks  m x n

a11     a12  …….. a1n a21    a22 …..… a2n . am1      am2     amn

          A =     

        

Bisa ditulis lebih singkat  A = [ a_ij ].

Dua matriks dikatakan sama bila ordonya sama   ......A = B ,   bila  A_ij = B_ij  .

Beberapa macam matriks:

·      Matriks bujur sangkar, jumlah baris dan kolomnya sama

                    A  =    atau

·      Matriks satuan , bila diagonalnya mempunyai nilai entri = 1 dan entri lainnya = 0         I    =

·      Matriks skalar, entri pada diagonalnya bernilai sama tapi ≠ 0 dan entri lainnya = 0        A  =   =  

·      Matriks nol, matrik yang semua entrinya = 0

                      0₂₃  =        0 ₄₃   =  

·      Matriks invers, matrik bujur sangkar jika terdapat matrik lain yang sama sehingga mempunyai hubungan  AB = BA = 1

                                  A    =       =    A^-1    =   

·      Matriks simetri, matriks bujur sangkar jika  A = A ^T  , T = transpose

                                       A   =    A^T    =   

·      Vektor matriks   : dalam matriks menpunyai satu kolom atau satu baris

Vektor kolom   dan verlor baris    [1   3]

Operasi Matriks

Penjumlahan

Bila A = [a_ij] dan B = [b_ij] dua buah vektor dengan kesamaan ordo yaitu sama sama  m X n kemudian C = A + B dimana elemen ij adalah a_ij dan  b_ij maka didapat suatu nilai tertentu

 A=    ,  B =

A + B =  =

Perkalian dengan Skalar

Matriks A =     bila dikali 3 akan menjadi       3A =

Perkalian matriks

Bila A = [a_ij]dengan i = 1, 2, 3,.......,m dan  j =  1, 2,3,......, n  dan      B = [b_jk] dengan k  =  1,  2,  3,.......p dengan syarat kolom A  = baris B

            _n

    c_ik = Σ a _j b _k  (jumlah dari semua perkalian antara elemen A pada baris

              ^{j  = 1}            ke i dengan elemen B pada kolom ke  k)

Hal ini dikaitkan dengan vektor kolom dan vektor baris, jika  a_i  vektor baris  ke - i   dan b_k vektor kolom ke – k dari matriks B maka elemen matrik C adalah c _ik=  a_i b_k                  

Misal    A  =     dan B =

Sebagai hasilnya:

   C   =  A X B   =

Dimana kita dapatkan langkah demi langkah, untuk C₁₁ kita dapatkan dengan mengalikan vektor baris dengan vektor kolom sesuai dengan barisnya

C ₁₁   = a ₁ b ₁   =   =   [ 2 + (-6) ] =   - 4

Dan seterusnya untuk C₁₂ , C₂₁ C₂₂

Transpose Matriks

Misalkan [a_ij]dengan i = 1, 2,....,m dan j = 1, 2, .......,n, Transpose matriks A dinyatakan sebagai B = A^T, didefinisikan;  b_ji = a_ij (kolom matriks A menjadi baris matriks A^T.

    

a11     a12  …….. a1n a21    a22 …..… a2n . am1      am2      amn                          .

a11     a21  …….. am1 a12    a22 …..… am2 . a1n      a2n      amn

  A =            A^T    =    

Trase Matriks

Penjumlahan semua semua entri diagonal utama dengan ketentuan matrik harus bujur sangkar.

A    maka trase A  = 3 -2 + 1 = 2

Contoh : Jumlah angkutan umum

	Jenis bus
Kota	Bus besar	Bus sedang	Bus kecil
Bandung	60	115	150
Jakarta	90	75	45
Surabaya	50	80	250
Semarang	85	70	450

Dan tabel dibawah  adalah ini menyatakan harga bus:

Bus	Harga bus (juta)
Bus besar	630
Bus sedang	315
Bus kecil	120

Pertanyaan berapa modal yang diperlukan untuk melaksanakan operasi bus ini.

Jawab:  Modal (C) = Jumlah bus (A) x Harga bus (B)

Modal (C) =    =     = M + N +O + P

4.2    Vektor pada Bidang dan Ruang  :

Vektor kolom    Nilai 1 dan -2 pada vektor kolom bila digambarkan dalam grafik kartesian merupakan suatu titik. Bila digabungkan antara dua vektor kolom maka keduanya  akan membentuk suatu garis yang panjang, garis tadi sering kita sebut panjangnya garis. Nilai panjangnya disebut skalar.

Vektor kolom  digabung dengan vektor kolom  , bila digambar dalam grafik kartesian kita dapatkan suatu garis melalui titik (0,0) dan (1,2) 

0

1

2

(1,2)

 

Vektor baris pada matrik bisanya menyatakan suatu nilai atau huruf, biasanya berisi suatu parameter,

Suatu  matriks biasanya merupakan perkalian vaktor baris dan vektor kolom :

A = x B  = [ 3    4 ]   maka A x B  =C  =

Penambahan vektor   dalam bidang  

   

Vektor-vektor u = ,  v =    w =   dapat digambarkan :

u   =  [ 1  2 ]   dan  v   =  [ 2  1]

Bila  C  =  u  +  v  maka nilainya menjadi

       C =   u  +  v    = [1   2 ]  + [2   1 ] = [ 3  3 ]  dan gambarnya

4.3  Matriks dan Persamaan Linier

Suatu kumpulan persamaan linier:

a₁₁  X₁ + a₁₂ X₂ + a₁₃ X₃ ………+a_1n  X_n  = b₁

a₂₁  X₁ + a₂₂ X₂ + a₂₃ X₃ ………+a_2n X_n   = b₂

a₃₁  X₁ + a₃₂ X₂ + a₃₃ X₃ ………+a_3n X_n   = b₃

_{. . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}

_{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...}

a_m1 X₁ + a_m2 X₂ + a_m3 X₃ ………+a_mn X_n = b_m

Dimana  a_nm     =    parameter   dan  X_nm     =    variabel

Persamaan tadi dapat diungkapkan dalam bentuk matriks

b1 b2 b3 bmm

X1 X2 X3 Xn Xn

a11  a12    a13 ………  a1n    a21  a22  a23 ………  a2n  a31  a32  a33 ………  a3n am1  am2  am3 ……  amn

A =    X  =     b  =           

Dapat dikatakan sebagai : AX =b     atau      [ A ǀ b ]

Baris ke 1 dapat dinyatakan dalam bentuk

X1 X2 X3 . Xn

[a₁₁  + a₁₂ + a₁₃ ………+a_1n  ]  =   a₁₁ X₁ + a₁₂ X₂ + a₁₃ X₃ ………+a_1n  X_n 

            _n

    c_ik = Σ a _j b _k  (jumlah dari semua perkalian antara elemen A pada baris

              ^{j  = 1}            ke i dengan elemen B pada kolom ke  k)

Contoh Persamaan linier :

X₁  + 2 X₂ = 5

2X₁ –    X₂ = 0        

Dan  X =  bukan merupakan jawaban  karena hanya menyelesaikan kedua persamaan pertama saja, yaitu X₁ = 3 dan X₂ = 1, karena kita harus ada penyelesaian persamaan linier diatas dan jawabannya dengan cara eliminasi yaitu membuat nol salah satu variabel (penjelasan pada eliminasi Gauss dan Jacob)

Untuk mengecek jawaban,   X =

Kita substitusikan X₁ = 1 dan X₂ = 2 pada kedua persamaan dan cek apakah memenuhi persamaan itu 1(1) +2(2) = 5    dan 2(1) – 1(2) =0

Setiap persamaan linier selalu menjadi satu kesatuan, antarpersamaan saling terikat. Setiap persamaan liniie rmempunyai penyelesaian. Setiap persamaan linier diatas mempunyai n variabel dan m persamaan.

Penyelesaian persamaan ini adalah penyelesaian setiap persamaan linier yang terdapat dalam sistem persamaan linier ini.

Sistem mempunyai tiga kemungkinan banyaknya penyelesaian;

1.    Terdapat penyelesaian tunggal

2.    Penyelesaian tak hingga banyaknya (infiniti)

3.    Tak ada penyelesaian

Eliminasi Gauss-Jordan

Berdasarkan pengalaman di SMU penyelesaian persamaan linier tidak mengubah variabel tetapi hanya mengoperasikan  secara aritmatik (yaitu dibuat nol sehingga terkesan hilang dan suku konstan, kemudi dua persamaan dikuangkan atau dijumlahkan sehingga satu variabel hilang..

Karena itu matriks parameter diubah menjadi matrik lengkap (augmented matrix) yaitu :

b1 b2 b3 ... ... bmm

a11  a12    a13 ………  a1n    a21  a22  a23 ………  a2n  a31  a32  a33 ………  a3n .... ....  .... ......   ... .... ....  .... ......   ... am1  am2  am3 ……  amn

Augmented matrix =          

Matriks diatas koefff A diperluas dengan matriks b. [ A ǀ b ]

Matriks eselon baris tereduksi:

Mempunyai ciri sama dengan matriks satuan

Hal ini sebagai dasar untk menyelesaikan persamaan linier. Yaitu membuat suatu variabel bernilai satu dan lainnya nol dan terlihat dari matriks lengkap

Dimana x₁  = -1,   x₂ = 2     dan x₃  = 4 sebagai hasil suatu persamaan linier.

Untuk mencari agar terdapat penyelesaian ini dipergunakan cara-cara:

E R O  ( Elementary Row Equition)

Dengan cara mentransfer matrik A menjadi matrik A’ dengan cara:

Type 1 ERO :  Pengalian baris yang mana saja dengan scalar yang tidak zero

Kalikan baris ke 2  dengan 3    A   akan  menjadi  A’

A =          A’  =  

Type 2  ERO Mulai dengan mengalikan salah satu baris.

Contoh baris 1 untuk j ≠ i

Baris j  dari A’ = c ( baris i dari A) dan baris lain = baris pada A :

Baris 2  dikalikan  4 , ganti baris 3 dengan 4 baris 2 + baris 3

sehingga  A’ menjadi

 4[ 1   3   5   6 ]  + [ 0    1    2    3]    =  [  4    13    11    27]

A’   =  

       Type  3  ERO  Tukar dua baris manapun, kita rubah baris 1 dan 3

A’   =  

Type 1 ERO dan type 2 ERO  secara formal yang dapat  menyelesaikan masalah persamaan linier

Contoh : Untuk persamaan

                X₁  + 2 X₂ = 5

              2 X₁ –     X₂ = 0                       (1)    

Dengan cara:

Pertama kalikan persamaan (1) baris ke dua dengan 2 dan  + dengan persamaan pertama maka kita dapatkan

                X₁  + 2 X₂ = 5

              5 X₁           = 5                            (2)

dibagi  persamaan (2)  baris kedua dengan 5, maka persamaan 2 menjadi

                X₁  + 2 X₂ = 5

                X₁            =   1                        (3)

Disini  baris ke 2 , bisa kita katakan sebagai [ 1   0 ]

Selanjutnya  kurangi baris pertama dan baris kedua pada persamaan (3)

Maka didapatkan

  X₁          =   1  

        X₂    =  2

Dalam hal baris ke 1 menjadi matriks  [ 0  1 ]

Dengan melihat persamaan (1) dan dengan persamaan matriks

                X₁  + 2 X₂ = 5

               2X₁  –    X₂ = 0 

X1  X2

Dengan kata lain :                  

  =    sebagai A X = b     atau  [A ǀ b]

Bentuk ini menjadi

 dengan tipe ERO 2 menjadi

 selanjutnya menjadi

atau secara umum menjadi   dengan ERO 3                                                        

Caranya adalah  merubah baris 1 menjadi baris 2

4.4   Variabel Basis dan Variabel non Basic

Bila persamaan linier dengan n variabel , karena hanya ada m persamaan, sehingga setiap kali  kita hanya bisa memperoleh suatu pemecahan dasar dengan variabel sebanyak m (variabel dasar )  x_j > 0,  j = 1, 2,......, m dan x_j = 0, j = m+1, ......, n.

Kalau kita ambil m kolom dari matriks A  yang mempunyai basis, dan susunan vektor-vektor yang baru masih juga merupakan basis, kemudian kita bentuk matriks B terdiri dari m vektor yang merupakan basis tersebut maka kita peroleh BX = b yang memberikan pemecahan dasar fisibel. yang fisibel.

Vektor kolom lainnya sebanyak n – m dari A bisa menggantikan salah satu vektor dari B ( tentu saja dengan syarat tertentu) dan susunanvektor-vektor yang baru masih juga merupakan basis (menghasilkan pemecahan dasar yang fisibel juga.

B =( B₁ , B_j , ..... , B_r , .... B_m)

A =(A₁ , A₂ , ..... , A_j , .... A_n ),

Misal kalau kolomke r dari B (= Br ) diganti dengan kolom ke j dari A (=Aj ) , maka B₁ , B₂ ,...., A_j , ....., B_m  juga merupakan basis.

Variabel Basic yang mempunyai nilai 0   BV = 0

Variabel non Basic ≠ 0   NBV  ≠  0

Kasus 1 :  Tidak ada penyelesaian

        A’ ǀ b’    =      

Dalam kasus ini  A’x = b’   (dan Ax =b) tidak mempunyai jawaban karena terdapat satu baris [ 0  0  0  ....ǀ c ]  ( c ≠ 0 )

Kasus 2  : terdapat penyelesaian

Misalkan :

2X₁   +   2X₂   +    X₃   = 9

2X₁   -      X₂   +  2X₃   = 6

  X₁   -     X₂    +  2X₃   = 9

Dengan metode Gauss-Jordan menghasilkan

A’ ǀ b’    =     =

Dalam kasus ini   BV =  {X₁ , X₂ ,X₃  } dan NBV  kosong

Kasus 3 : Bila kasus 1 dan  dan ada NBV maka A’x = b’   (dan Ax =b) akan mempunyai jawaban yang infinitif

 A’ b’    =  

Dalam kasus ini   BV =  {X₁ , X₂ ,X₃  } dan NBV  { X₄  , X₅ } sehingga untuk melihat kasus ini kita lihat    : A’x = b’  

X₁                         +   X₄   +    X₅   =  3

            X₂            +   2X₄               =  2

                     X₃                     X₅        =  1

0 X₁ +  0 X₂+  0 X₃   + 0 X₄   + 0 X₅    =  0

Sekarang kita tentukan (X₄ ,  X₅ )  sebagai NVB  yang mempunyai nilai   c dan k dimana X₄ = c dan X₅ = k,  kita dapatkan    X₁  = 3 – c – k,   X₂ = 2 - 2c ,        X₃ =  1 - k    dan persamaan   mengandung semua variabel  X₁ , X₂ ,X₃ ,          dan  X₄  , X₅  mempunyaii nilai c dan k maka akan merupakan jawaban pada   A’x = b’   (dan Ax =b) 

Sehingga kita mempunyai alternatif untuk memecahkan persamaan linier:

 

4.5     Matriks invers

Matriks bujur sangkar A = [ aij ]dengan i = 1, 2, ......, m dan j = 1, 2, ....., n, disebut mempunyai invers jika terdapat matriks A^-1 sedemikian rupa sehingga

A A^-1 = A^-1 A = I dimana I merupakan matriks satuan.

Definisi  :

1.    Matriks square  meripakan matiks m = n

2.    Elemen diagonal : elemen a_ij  dimana i = j

3.    Matrik identitas : element diagonal =  1 dan elemen lainnya = 0

4.    Untuk matrik A :m x m  dan matriks B : m x m merupakan matriks invers dari A jika   BA = AB = I_m

5.    Beberapa matrik square mungkin tidak mempunyai invers

Bila BA = AB = I_m   maka matrik B  =Matrik A^-1

     =

 dan

        =  

Maka

A ^-1 =                  

-Maka bisa kita dapatkan

             ( A^-1 A )x  = A^-1 b          atau

                   I_m  x  = A^-1 b          atau

                        x  = A^-1 b  

Contoh:

A =                  A^-1  =

              

Dari persamaan diatas

    =       dan       = 

Untuk mendapatkan nilai  dengan cara mengubah 

  dengan Gauss-Jordan    maka    menjadi

  dengan Gauss-Jordan    maka    menjadi

Kita melakukan transform pada kolom pertama dan kedua dari A  kita dapatkan

         A ǀ I₂      =  

 Terjadi bila    di transform ke I  =

Langkah langkah yang dilakukan:

Langkah 1  : kalikan baris pertama dari A ǀ I₂   dengan 1/2  menghasilkan

 A’ ǀ I₂ ’  =

Langkah 2  :  ganti baris  2 dari  A’ ǀ I₂ ’  dengan

                    -1 (baris 1 dari  A’ ǀ I₂ ’ ) + baris  2  dari  A’ ǀ I₂ ’  menghasilkan

 A” I₂”  =

Langkah 3  :  kalikan baris 2 dari  A” ǀ I₂ “ dengan 2 sehingga menghasilkan

 A’” ǀ I₂ “’  =

Langkah 4  :  Ganti baris 1 dari  A”’ ǀ I₂ ‘“  dengan -5/2 ( baris 2 dari A”’ ǀ I₂ ‘“)

                  Ditambah baris 1 dari A”’ ǀ I₂ ‘“   akan menghasilkan

 A’ ǀ I₂ ’  = 

Karena A telah ditransform ke I₂ dan I₂  akan ditransform ke  A^-1      

 A^-1    =

Kita dapat meferifikasikan   A A^-1   =  A^-1 A = I₂

Determinan Matriks